☆ Courbe paramétrée

Dans cet exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$  d'unité $4$ cm.

On considère les fonctions $x$  et $y$  définies sur $\mathbb{R}$  par  $x(t)=\sin (t)$ et $$ $y(t)=\sin (2t)$ .
On note  $\mathrm{\Gamma }$ l'ensemble des points $\text{M}(t)$  du plan de coordonnées $(x(t);y(t))$ , où $t$  décrit $\mathbb{R}$ .
$\mathrm{\Gamma }$  est appelé courbe paramétrée du plan.

1. a. Montrer que, pour tout réel $t$ , les points $\text{M}(t+2\pi )$  et $\text{M}(t)$  sont confondus.
    b. Montrer que, pour tout réel $t$ , les points $\text{M}(t+\pi )$  et $\text{M}(t)$  sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
    c. Montrer que, pour tout réel $t$ , les points $\text{M}(-t)$  et $\text{M}(t)$  sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
    d. Expliquer pourquoi on peut limiter l'étude des fonctions $x$  et $y$  à l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ .

2. Étudier les variations des fonctions $x$  et $y$  sur l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ .

3. Soit $t_0$  un réel. On admet que si $(x^{\prime }(t_0);y^{\prime }(t_0))\ne (0;0)$  alors $\mathrm{\Gamma }$  admet en $\text{M}(t_0)$  une tangente dirigée par le vecteur de coordonnées $(x^{\prime }(t_0);y^{\prime }(t_0))$ . Déterminer un vecteur directeur de la tangente à $\mathrm{\Gamma }$  aux points $\text{M}(0),\text{M}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$  et $\text{M}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ .

4. a. Tracer, dans le repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$  la portion de la courbe $\mathrm{\Gamma }$  pour  $t$  décrivant $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ . On prendra soin de faire figurer les vecteurs directeurs des tangentes considérées dans la question 3. 
    b. Compléter la courbe précédente à l'aide des symétries évoquées dans la question  1.

Remarque

Une telle courbe est appelée courbe de Lissajous.